Да. Строить - глагол второго спряжения.
Нет, правильно: растопит.
Это название организации уместно заключить в кавычки. Но возможно и функционирование сочетания как нарицательного - строчными буквами, без кавычек: союз (объединение) безбожников.
Можно, но обычно в этом нет практической необходимости.
Это выражение закавычивать не обязательно.
Если речь об игре на музыкальных инструментах, то верно: играя на трубах.
В общем случае тире не нужно. Тире требуется, если предложение находится в сопоставительных отношениях с другим, построенным по той же модели: Это — натюрморт, а это — пейзаж.
Уместность кавычек нужно определять в контексте. Без учета контекста можно лишь заметить, что зеленым змием принято называть спиртные напитки, водку; такое употребление закреплено словарями и не требует постановки кавычек.
Запятая перед определительным оборотом после определяемого существительного нужна: Организация, выставившая счет.
