Прилагательные, образованные от географических наименований, пишутся со строчной буквы, если они не входят в состав собственных наименований (ср.: московские дворики, но Московская область).
Существует слово пазуха - существительное. Этим объясняется раздельное написание выражения за пазухой.
Это грамматически неосвоенное заимствование (как и кофе).
В корне -тир- пишется и, поскольку после него следует а. Подробнее см. в "Учебнике ГРАМОТЫ".
Есть правило: служебные слова (как русские, так и иноязычные) в середине составных названий выделяются двумя дефисами, напр.: Ростов-на-Дону, Комсомольск-на-Амуре, Франкфурт-на-Майне, Булонь-сюр-Мер, Па-де-Кале, Рио-де-Жанейро и т. д.
Правило таково: сложные существительные и сочетания с однословным приложением, если в их состав входят самостоятельно употребляющиеся существительные и обе части или только вторая часть склоняются, пишутся через дефис. Приведем другие примеры: дворец-музей, кассир-контролер, ковер-самолет, колония-поселение, кухня-столовая, музей-квартира, ресторан-бар, словарь-справочник.
Написание инжиниринг объясняется тем, что это слово не образовано от русского слова инженер, а заимствовано из английского языка (от англ. engineering < лат. ingenium изобретательность, выдумка, знания).
