Слово мцыри выступает здесь как имя литературного персонажа, и его надо написать с прописной буквы: Мцыри. В стихотворных цитатах, включенных в состав прозаического текста в качестве его компонентов, строки отделяются одинарной или двойной косой чертой, прописные буквы в начале строк сохраняются.

Проблематика номинирования социальных, политических и экономических процессов на отдельных исторических этапах государственной и общественной жизни определяет объекты исследования специальных научных работ (не только лингвистических), к которым и рекомендуем обратиться в поисках подтверждений и опровержений разного рода предположений.

На сайте самого движения используется обозначение Первые (с прописной без кавычек). То же — на логотипе организации. При этом в уставе организации и в официальных документах пишут «Движение первых». 

О принадлежности ребенка к движению можно написать нейтрально — стал участником «Движения первых». Можно так: присоединился к Первым. Эти названия совсем недавно появились в языке, поэтому будем наблюдать за их употреблением. Возможно, со временем какие-то формулировки и написания станут устойчивыми, пока же они только осваиваются языком.

См. также ответ на вопрос № 319215.

Корректно: Здание, в котором расположен отель, — один из красивейших памятников архитектуры Петербурга XVIII века. 

Верны оба варианта — с запятой и без. В параграфе 36.5 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя говорится, что в подобных случаях «после союза но запятая не ставится при отсутствии паузы между союзами и ставится, если пауза делается; ср.: Но когда  он, опираясь на палку, вышел из штабного автобуса на площадь… и, не ожидая, пока его обнимут, сам стал обнимать и целовать всех, кто попадал в его объятия, что-то защемило в ране (Павл.); Но, если  даже противнику удавалось отбить атакующих, пехота снова бросалась в атаку (Сим.)». 

В значении 'полевое укрепление в форме тупого угла, обращенного вершиной к противнику' (Багратионовские флеши) используется заимствование из французского языка, которое в русском языке стало существительным женского рода и поэтому пишется с мягким знаком.

Заимствование из английского языка флеш в русском языке многофункционально. Это и первая часть слов, и самостоятельные слова. Вот выборка из академического орфографического ресурса слов с начальным флеш:

флеш-... – первая часть сложных слов, пишется через дефис

Заимствованное слово оверлок было зафиксировано академическим «Орфографическим словарем русского языка» в 1974 году, написание в нем буквы к обусловлено слом-источником – английским overlock (от over сверху через и lock замыкать, соединять, сплетать). С 1974 года орфографическим словарем закреплено и существительное оверлочница, позже – прилагательное оверлочный. Эти слова закономерно образуются от оверлок с чередованием к//ч (ср.: брюки – брючный, брючница; копейка – копеечный, копеечница; мешок – мешочный, мешочница; молоко – молочный, молочница). В сфере профессиональной терминологии параллельно появились варианты оверложить, оверложница. Они упоминаются в лингвистической литературе с пометой «специальное».

За этим и подобными противоречиями словарной нормы и профессиональной практики письма лингвисты давно наблюдают. О. Е. Иванова, один из редакторов современного академического «Русского орфографического словаря», считает, что «объективно предпочтительным было бы разрешение конфликта в пользу словаря как научного регулятора письменной нормы, то есть чтобы через какое-то время стало понятно, что практика письма (пишущие) восприняла рекомендации словаря (лингвистов-кодификаторов)».

По нашим наблюдениям, вариант оверлок настолько распространен, в том числе и в профессиональной литературе, что изменение словарной фиксации сейчас нельзя признать оправданной. Например, в действующем ГОСТ IEC 60335-2-28-2012 «Безопасность бытовых и аналогичных электрических приборов. Часть 2-28. Частные требования к швейным машинам» употребляется именно форма оверлок.