Написание названий, состоящих из нарицательных имен и стоящих во множественном числе, не урегулировано правилами орфографии. Опираясь на общие закономерности употребления прописной буквы, можно дать следующие рекомендации.

Если важно подчеркнуть, что речь идет именно о празднике День энергетика, то в форме множественного числа заглавную букву нужно сохранить. Она имеет смысловое значение — сообщает читателю, что перед ним название, а не описательный оборот. Однако заметим, что использовать форму множественного числа допустимо только в том случае, если она не будет порождать двусмысленности: говорится о нескольких праздниках, называющихся День энергетика, или о празднике, длящемся несколько дней и поэтому называющемся Дни энергетика. (См. также ответ о названии День города.)

Сочетание Доска почета во множественном числе рекомендуем писать со строчной буквы. Заглавная буква в этом сочетании — средство выражения почтительного отношения к объекту. Можно провести параллель с написанием Вы в письме к одному человеку и вы — к нескольким людям.

Такие выражения, как чтить память отца и матери, чтить память героев, чтить память покойного, содержат устойчивое сочетание чтить память. Примеры, иллюстрирующие его употребление в церковной и в светской речи, находим в литературе; см. фрагменты из художественных произведений первой половины XIX века: «Она... занималась детьми, учила их доброму, приказывала чтить память отца» [Ф. В. Ростопчин. Ох, французы! (1812)]; «Все нижегородские жители чтят память бывшего своего воеводы, а твоего покойного родителя» [М. Н. Загоскин. Юрий Милославский, или русские в 1612 году (1829)]; «Всякое утешение казалось мне оскорблением священной горести, какою чтил он память незабвенного для него человека» [Н. А. Полевой. Живописец (1833)]. Значение сочетания толкуется с опорой на значения глагола чтить и существительного память. Важно, что в этом случае слово память подразумевает хранимые сведения и знания об умерших людях (ср. выражения увековечить память учёного, посвятить книгу памяти отца, светлая память павшим героям).

Во всех трех предложениях запятая не нужна. Союз ли... или не является повторяющимся. Если этим союзом соединены однородные члены, то запятая перед или не ставится. Слово нет в первом и третьем предложениях замещает позицию сказуемых, однородных предшествующим: Он проверял, соответствует ли название содержимому или нет (= не соответствует); Я размышляла, пойти ли мне на праздник или нет (= не пойти). 

Корректно: Наши предки-славяне оставили нам прекрасное наследство или Наши предки, славяне, оставили нам прекрасное наследство. 

Правильно: сопливеть, личные формы: сопливею, сопливеет. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.

Верная пунктуация: То, безусловно и несомненно,..