Запятая нужна: Попав с корабля на бал, Анжелика цеплялась только и строго за знания, полученные ей внутри закрытого женского пансиона.

Корректная пунктуация: Наша работа по раскрытию возможностей для самореализации внутри компании и в целом усилия по созданию моды на естественные науки и повышению привлекательности отрасли для молодежи приносят свои плоды.

Такая ситуация не регламентирована правилами. Но по общему правилу о знаках препинания в конце предложения точка нужна. 

Правильно: внутри сети, в Сети и в Сети (в Интернете).

Сочетание прижав руку к сердцу корректно, т. к. слово сердце означает не только 'центральный орган кровообращения', но и 'место на левой стороне груди, где находится этот орган'. Прижав руку к сердцу = прижав руку к той стороне груди, где находится сердце. Это сочетание употребляется и в художественной литературе, у писателей-классиков, например: Сделав страдальческое лицо и прижав руку к сердцу, он опять начал объяснять Щукиной, но голос его оборвался… А. Чехов, Беззащитное существо. «Я не знаю… у меня что-то грудь болит…» – сказал он, прижав руку к сердцу. И. Гончаров, Обыкновенная история. ...Сам Аполлон Аполлонович, недоуменно моргая и прижав руку к сердцу, дабы умерить одышку, побежал вдогонку за ускользавшей в тумане спиной господинчика... А. Белый, Петербург.

Это правильно. Точка (или другой знак конца предложения) может стоять внутри заголовка, но в конце заголовка точку опускают.

Количество вставных конструкций внутри вставных конструкций нигде не регламентировано. Но здравый смысл подсказывает, что если их окажется больше двух, то текст будет плохо понятен читателю. Кстати, в правилах пунктуации указано: если вставка заключена в скобки, то внутренние вставные конструкции выделяются тире.

В первой части предложения выделяется грамматическая основа обнаружить выходит, что не соответствует русской синтаксической норме. Предложение нуждается в редактировании.