Можно провести аналогию с самым, пожалуй, известным туристическим маршрутом в России — Золотое кольцо. Название пишется без кавычек: путешествие по Золотому кольцу, города Золотого кольца. Но (с родовым словом): туристический маршрут «Золотое кольцо». Аналогично: путешествие по Государевой дороге, но туристический маршрут «Государева дорога».
Правильно: в Сети.
Вы правы, слово демомодель надо писать слитно (как сложносокращенное от демонстрационная модель).
Правильно: в одном из магазинов сети.
См. ответ на вопрос № 290626.
Запятые не нужны, а слово непройденных надо писать слитно. Но проблема в том, что сочетание на путях непройденных дорог никак нельзя признать корректным. Путь – это в общем и есть дорога.
Да, в значении 'Интернет' слово Сеть пишется с прописной буквы. Правильно: информация, размещенная в Сети.
Тогда правильно: директор сети фитнес-клубов, директор сети магазинов.
Верно: [сми]. Подробно о произношении аббревиатур см. в нашем Письмовнике.