Инициалы пишутся с пробелом: И. И. Иванову.

В скобки может быть заключено предложение целиком. (Тогда ставится одна точка - в скобках.)

В орфографических словарях и справочниках данные наименования не зафиксированы. Все предложенные в ответах написания соответствуют правилам и употреблению на официальном сайте ЮНЕСКО. При этом в практике печати они имеют разрешенные правилами варианты.

1. Ваш вопрос очень сложный, и дать однозначного ответа на него нельзя. С одной стороны, все слова, являющиеся прямой речью и цитатами, выделяются кавычками, перед ними ставится двоеточие. Однако в справочнике Д. Э. Розенталя указано, что подлинные выражения, вставленные в текст в качестве элементов предложения, заключаются в кавычки, но двоеточие перед ними не ставится. Приводятся такие примеры: Он вспомнил пословицу «За двумя зайцами погонишься – ни одного не поймаешь» и отказался от первоначального плана; С криком «Спасайте детей!» юноша бросился в горящее здание.

В то же время ниже в справочнике даётся такая рекомендация. Если перед подлинным выражением имеются слова предложение, выражение, надпись и т. п., то перед ними ставится двоеточие, например: Разберите предложение: «Сверкнула молния, и грянул гром». 

На наш взгляд, предложение, в котором содержится слово девиз, можно писать как следуя первой рекомендации, так и следуя второй рекомендации. Поэтому окончательное решение о постановке двоеточия принимает автор текста.

2. Первый вариант предпочтителен.

Правильно написание в соответствии с рекомендациями орфографического словаря: не полностью. 

Правильно: векторы. В «Проверке слова» не говорится о правильности варианта вектора в именительном падеже мн. числа.

В словарной статье «вектор, -а» сочетание «-а» указывает на то, как слово будет выглядеть в родительном падеже ед. числа (нет вектора). Это важно, т. к. по родительному падежу можно построить всю падежную парадигму (то есть узнать, каким будет слово в других падежах). Если слово имеет окончание -а (-я) в именительном падеже мн. числа, это оговаривается в словаре, например: «директор, -а, мн. -а, -ов».

Существительное этап требует предлога на: на первом этапе.

В официальных документах использовалось написание ЕврАзЭС, однако оно не соответствует орфографическим правилам, поэтому в словарях было закреплено написание ЕвразЭС. 

Ваш ребенок разделил слова на слоги в соответствии с теорией восходящей звучности, согласно которой в слоге волна звучности возрастает от начала слога к его вершине. Вершиной является самый звонкий звук, т. е. гласный. Учитель разделил слова на слоги в соответствии с другими теориями слогоделения.

В данном случае верно с точкой, так как название группы является членом предложения.