Это равноправные терминологические варианты.

Уточните, пожалуйста, в чём именно у Вас возник спор с учителем.

Запятая перед союзом и в этом предложении не нужна, т. к. союз соединяет однородные сказуемые. В диктанте правильным признается вариант без запятой.

Сочетание надрывать горло не противоречит нормам русского языка. Оно встречается в художественных текстах, например: Долго и бесплодно бродили мы с Мишей по берегу, надрывая неистовым криком горло и постреливая иногда в воздух — гробовое молчание было нам ответом [Б. И. Вронский. Дневник (1935)]; Кави, надрывая охрипшее горло, созывал вожаков, чтобы убедить их отказаться от нападения на шене [И. А. Ефремов. На краю Ойкумены (1945–1946)]; «В словах ее крылась какая-то страшная тайна», — думаю я, возвращаясь к уже надрывающей горло няне: «Ну где тебя носит?..» [В. Н. Кобец. Кисть рябины // «Волга», 2012].

Знаки препинания расставлены верно.

В эту версию верится с трудом. Не видим оснований считать данные слова частью грамматической основы.

Существует ряд правил постановки знаков конца предложения внутри предложения. Так, в параграфе 5 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.) указано, что прописные буквы заменяются строчными, если перед перечислением стоят знаки двоеточие или тире (впереди имеется обобщение); в других же случаях фрагменты начинаются с прописной буквы. В параграфе 8 этого же справочника особо рассматривается передача прерывистого или затрудненного характера речи; в этом случае части предложения, разделённые многоточием, начинаются со строчной буквы. 

Впрочем, Ваш пример отличается от иллюстративных примеров из указанных параграфов справочника: здесь содержится конструкция под названием именительный темы. При постановке многоточия после именительного темы прописные буквы в дальнейшем предложении используются по общему правилу: А злопыхатели в комментариях... Мы же понимаем, откуда они берутся.

Корректно: Дети отвечают на вопрос: «Кем ты хочешь стать в будущем?», и они отвечают: «Мы хотим стать смелыми, мужественными, сильными».

Правила оформления прямой речи можно найти в справочнике Д. Э. Розенталя, раздел «Пунктуация».

Во второй части предложения (после но) подлежащее и сказуемое выражены существительными. Однако тире между ними не ставится, поскольку перед сказуемым есть частица вовсе и отрицание. Таким образом, верная пунктуация: Они действительно обладают отличной выносливостью, но причина этого вовсе не врожденная способность.

В этом сложноподчиненном предложении можно поставить запятую по общему правилу, но уместнее тире, поскольку главная часть следует за придаточной и начинается со слова это (см. пункт 1 параграфа 124 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина).