Из Вашего вопроса не вполне ясно, на что именно должен быть пример. Если пример на употребление мягкого знака вообще, то с мышью всё в порядке: мягкий знак пишется на конце форм именительного падежа ед. числа существительных женского рода 3-го склонения. Если же нужен пример на употребление мягкого знака для обозначения мягкости парного согласного (на конце слова или в середине слова), подойдут, например, слова голубь и письмо.

Ваша фамилия исключением не является. Фамилии на -ых (-их) типа Золотых, Черных, Долгих являются единственным исключением из правила, гласящего, что склоняются все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный звук. Эти фамилии несклоняемы, потому что они в каком-то смысле уникальны: они происходят от формы родительного (и предложного) падежа множественного числа имен прилагательных (ср.: золотых куполов, долгих проводов). Склонение Вашей фамилии определяется именно тем правилом, которое Вы привели в вопросе.

Не вполне ясно, что Вас удивляет. Географические названия, выраженные прилагательными, согласуются с существительными, т. е. принимают форму того же рода, числа, падежа: станица (женский род) Прохладная, станция (женский род) Прохладная, но город (мужской род) Прохладный; улица (женский род) Коломенская, станция (женский род) «Коломенская», но проезд (мужской род) Коломенский. Что касается музея-заповедника, то его название Коломенское объясняется, тем, что когда-то на его месте было село (средний род) Коломенское.

Правильно: он не имеет права.

Существительное, непосредственно зависящее от глагола с отрицанием, может стоять в форме родительного падежа, если в зависимости от глагола без отрицания оно употребляется в винительном падеже. Очень часто формы вариативны: он не писал стихи и он не писал стихов. Однако в ряде случаев та или иная форма обязательна. Здесь как раз такой случай. Если существительно зависит от глагола иметь, родительный падеж обязателен.

Текст подстрочного примечания, как правило, не согласуется с формой поясняемого текста – ведущее слово независимо от падежа поясняемого слова ставят в именительном падеже. Текст примечания, как самостоятельное предложение, необходимо начинать с прописной буквы и в конце ставить точку. Обязательного требования повторять поясняемое слово в тексте примечания нет, но для полноты примечания это имеет смысл сделать. Итак, правильно:

На гаке* было 5 барж.

Да, в обоих примерах слово учитель стоит в винительном падеже. А вот, например, в словосочетании портфель учителя  слово учитель стоит в форме родительного падежа.

Определить падеж очень просто: надо подставить слово первого (по школьной грамматике) склонения, потому что у слов первого склонения разные окончания в винительном и родительном падежах. Возьмем, например, слово учительница. Гордость за учительницу, уважать учительницу – винительный падеж. Но: сумка учительницы – родительный падеж.

1. Что именно вызывает затруднение - сама возможность образования формы мн. ч. (в этом случае следует учитывать лексическое значение слова) или же выбор окончания? В электронных словарях, размещенных на нашем портале, приводятся окончания -а, -я множественного числа именительного падежа для слов, имеющих такие окончания. Остальные слова (точнее, существительные второго склонения) имеют в форме им. п. мн. ч. окончание -и или -ы.

2. Современная орфографическая норма: шопинг.

Существительное, относящееся к переходному глаголу с отрицанием, может иметь форму родительного или винительного падежа: прошел аттестацию, но не прошел аттестации / не прошел аттестацию. О принципах выбора между падежными формами см. наш Письмовник, а также соответствующий раздел «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию», где, в частности, говорится, что «при деепричастии или причастии, в связи с книжным характером этих форм», обычно употребляется родительный падеж существительного.

Переходный глагол предотвращать управляет зависимым словом в форме винительного падежа: предотвращать опасность, предотвратить негативные последствия, предотвратить аварию. Зависимое слово обозначает нечто нежелательное, угрожающее кому- или чему-либо. Эта грамматическая норма предопределяет истолкование словосочетания предотвращать лопату. Но едва ли автор собирался сообщать о том, что усиленная планка защищает лопату от лопаты же. Как можно полагать, речь идет о том, что усиленная планка предотвращает повреждение и износ лопаты.

Падеж словоформы врача в этом контексте установить невозможно: вопрос кого? не различает винительный и родительный падежи. Глагол бояться действительно может присоединять в качестве зависимого слова одушевленное существительное в винительном падеже (боюсь маму). Правда, следует заметить, что, согласно справочнику Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке», такой вариант (бояться кого) имеет разговорную окраску. Нейтральная форма зависимого существительного при глаголе бояться — форма родительного падежа (боюсь мамы).