Запятая нужна.

Это задание (если оно сформулировано именно так) некорректно и невыполнимо. Можно привести одно однокоренное слово – берложный. Возможно, авторы задания ожидают увидеть в качестве ответа слова логово и пр., но берлога и логово в современном русском языке не являются однокоренными словами (да и родство их небесспорно).

Правильно здесь: незапланированного.

Корректор неправ. Верно: одним миром мазаны. Так говорят о людях с одинаковыми недостатками: один не лучше другого. Выражение образовано от словосочетания мазать миром и восходит к церковным обрядам помазания. В выражении употребляется не слово мир  (и не слово мирра 'ароматическая смола'), а слово миро – специально приготовляемое благовонное масло, которым священники смачивают лбы верующих, чтобы благословить их и выделить среди других. Первоначальное значение оборота – 'одной веры'. Слово миро 'благовонное масло' пишется с одной буквой р.

Запятые не нужны, нет оснований для их постановки. Но ср.: Так и мне, озерной птице, в песне изнемочь бы...

Запятые не нужны. Объяснение простое: нет оснований для их постановки.

После двоеточия нужно писать со строчной буквы. Можно поставить точку и написать вторую часть заголовка с прописной буквы.

Интересный вопрос. Видимо, зараза здесь в более общем значении 'то, что разит кого-либо' (ср.: любовь сразила); 'то, что передается от человека к человеку'. В словаре Даля отмечено диалектное заразиться 'влюбиться'.

Приводим формулировки правил.

В названиях, начинающихся на Северо- (и Северно-), Юго- (и Южно-), Восточно-, Западно-, Центрально-,  с прописной буквы пишутся (через дефис) оба компонента первого сложного слова, напр.: Северо-Байкальское нагорье, Восточно-Китайское море, Западно-Сибирская низменность, Центрально-Черноземный район, Юго-Западный административный округ. Так же пишутся в составе географических названий компоненты других пишущихся через дефис слов и их сочетаний, напр.: Индо-Гангская равнина, Волго-Донской канал, Военно-Грузинская дорога, Алма-Атинский заповедник.

В названиях учреждений, организаций, начинающихся географическими определениями с первыми компонентами Северо- (и Северно-), Юго- (и Южно-), Восточно-, Западно-, Центрально-, а также пишущимися через дефис прилагательными от географических названий, с прописной буквы пишутся, как и в собственно географических названиях, оба компонента первого сложного слова, напр.: Северо-Кавказская научная географическая станция, Западно-Сибирский металлургический комбинат, Санкт-Петербургский государственный университет, Орехово-Зуевский педагогический институт, Нью-Йоркский филармонический оркестр.

Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся с прописной буквы, если они являются частью составных наименований – географических и административно-территориальных, индивидуальных имен людей, названий исторических эпох и событий, учреждений, архитектурных и др. памятников, военных округов и фронтов. В остальных случаях они пишутся со строчной буквы. Например: северокавказская природа и Северо-Кавказский регион, Северо-Кавказский военный округ.

См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006 (и более поздние издания).

Это правильная фраза. Возвратные глаголы не всегда означают, что действие происходит "само собой".