При наличии родового слова система кавычки нужны: по системе "шведский стол".
Нужен дательный падеж: по распоряжению директора (в значении "в соответствии с распоряжением").
Требуется форма творительного падежа: По понятным причинам это никак не могло быть современным шоссе.
Запятая не нужна. Сочетание по пути домой является обычным обстоятельством времени, которое не требует обособления.
Правильно: сдам квартиру по адресу улица Мира, дом такой-то; сдам квартиру в доме на улице Мира.
Обороты со словами по (чьему-либо) мнению... указывают на источник сообщения и являются вводными выражениями. Они обособляются и в начале, и в середине, и в конце предложения. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
Оба варианта правильны. Заплатить по столько-то - если речь идет о нескольких действующих лицах, участвующих в оплате в равной мере.
Как правило, пишут и говорят: достижения в области чего-то или в чем-то. Сложно представить себе контекст, где может использоваться предлог по.
