Корректно: Петропавловский собор. Правило, о котором Вы пишете, к сожалению не вполне отражает закономерности, действующие в области написания сложных прилагательных. Уточненные правила можно прочитать в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря», см. параграфы 47–51.
Оба варианта правильные.
Да, кавычки нужны для выделения названия: концерт пройдёт в московском клубе «1930».
Корректно: какой город достоин звания...
В этом случае уместно говорить о транслитерации, поскольку пока упомянутые слова вряд ли можно отнести к заимствованным. Представленные Вами варианты написания корректны.
Запятая поставлена правильно.
Оба варианта верны.
Возможен такой вариант: Только достанешь пылесос из коробки, кот увидит – и бежать.
Тире не нужно.
