Да, тире между подлежащим и сказуемым-существительным нужно.

Насколько нам известно, такое сочетание не является общеупотребительным.

Это не подлежащее, а бывшее подлежащее. Подлежащим оно является в утвердительном (исходном) варианте предложения: Под потолком был (находился, имелся, висел...) абажур. В результате введения в предложение отрицания оно превращается в безличное, главным членом которого остается бытийный глагол, а подлежащее принимает форму родительного падежа и перестаёт быть подлежащим, потому что подлежащих в Р. п. традиционной грамматикой не предусмотрено. Самая корректная квалификация этого члена предложения — именно бывшее подлежащее. Дополнением считать его нельзя, потому что дополнений, которые при изъятии отрицания превращаются в подлежащие, не бывает.

Никакого, конечно, является определением.

Возможны варианты пунктуации в зависимости от смысла и интонации. Можно поставить запятые по правилу о запятых между однородными членами, соединенными повторяющимися союзами: За это уважали, и любили, и академиком народным нарекли. Но если между глаголами уважали и любили есть тесная смысловая связь, а слова и академиком народным нарекли отделяются от них интонационно, запятые не нужны. В этом случае действует правило: если два однородных члена предложения с союзом и образуют тесно связанную по смыслу пару, соединенную союзом и с третьим однородным членом, запятые не ставятся. Окончательное решение принимает автор текста.

Инициалы пишутся с пробелом: И. И. Иванову.

Следует выбрать: "уважаемый" или "с уважением".

Правильно: действующего. В письменной деловой речи принята норма согласования с названием должности – директор (безотносительно к полу).

В официальной речи верно: присвоено звание «Заслуженный артист Российской Федерации». Неофициально: присвоено звание заслуженного артиста, заслуженной артистки.

Правильно: ...в лице генерального директора Маши Ивановой, действующего на основании Устава.