Правильно: на период наличия вакансии.
Оба варианта верны. Устойчивое выражение: при закрытых дверях — в присутствии только заинтересованных и должностных лиц, без посторонней публики.
Верно: на реке Оке.
Топонимы со словом посёлок обычно не склоняются. Верно: на Дне посёлка Маяк.
Запятая не нужна.
Варианты корректные. Как можно предположить, существительные с предлогом заменяют словосочетания типа финальные соревнования, финальный турнир, финальная встреча и т. п. При выборе вариантов стоит принять во внимание то, с каким словосочетанием они соотносятся.
В большинстве словарей в качестве единственного варианта предлагается: должностях. Однако есть издания, которые разрешают и вариант должностях.
Представляется более корректным считать за грибами дополнением (пошли за чем?). Но не будет ошибкой и такой разбор этого предложения, при котором слова за грибами будут выделены как обстоятельство цели (пошли с какой целью?).
Запятая не ставится.
Оба варианта согласования возможны.
