Слово неукоснительный не является родственным со словамами, которые имеют чередующиеся корни -кас-/-кос- (касаться, коснуться и т. п.). Правило выбора гласной буквы в корнях -кас-/-кос- на это слово не распространяется.
Этимологический корень в слове неукоснительно ― косн- (от късьнъ со значением ‘медленный’ ― перевод на церковнославянский греческого слова βραδύς), однако семантическая связь с этим корнем утеряна. Современные словообразовательные словари рассматривают слово неукоснительный как непроизводное, с корнем неукоснительн-. Производные родственные слова: неукоснительно и неукоснительность.
Нужно писать со строчной.
В значении по «после» верно: по окончании, по истечении.
Правильно: принимать по две капсулы в день.
Если имеется в виду день недели, оба варианта верны.
