Так сказать можно, ошибки нет.
Правильно: семьям, имеющим детей.
Частица не писалась бы в независимом восклицательном предложении: Куда только Катя не обращалась за помощью! (то есть буквальный смысл: да есть ли такие места, куда Катя не обращалась за помощью?). Но в приведенном Вами предложении надо писать частицу ни: Куда только Катя ни обращалась за помощью, нигде не могли ей помочь. Отрицанию не в этом предложении не место: она же обращалась за помощью.
Это слово среднего рода. Род аббревиатуры определяется по опорному слову (министерство).
Следует писать с дефисом: минуту-другую.
Такое значение у слова конвой в словарях не отмечено, это неудачное сочетание. См. также колонку Ксении Турковой.
Эта аббревиатура не склоняется.
Постановка запятой не требуется.