Правильно: семье Гагариных (потому что семья Гагариных принимала активное участие в жизни детского сада).
Запятая ставится после союза и, так как далее начинается придаточная часть: Я мать и, что необходимо моему ребенку, решаю сама. О подобных случаях говорится в пункте 2 параграфа 36.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя.
Из знаков препинания нужна только точка в конце.
Тире не нужно.
Корректно: Слово мара переводится с белорусского языка как мечта; Слово "мара" переводится с белорусского языка как мечта. Иначе говоря, слово мара необходимо каким-то образом выделить (кавычками, курсивом, полужирным шрифтом и т. п.).
В разговорной речи такое употребление возможно.
Пол... (половина) - с последующим словом пишется через дефис (перед гласной, л и перед прописной буквой) или слитно (в остальных случаях); с последующим сочетанием слов пишется раздельно. Правильно: за пол земного шара.
Тире не требуется.
Верно: заведующая детским садом, управляющий банком.
Правильно: заведующая детским садом.
