Корректно согласование во мн. ч. В ед. ч. - в разговорной речи.
Стилистически более точен второй вариант. Первый может быть истолкован так, что кто-то приглашает кого-то на праздничный вечер, находясь в I студии Дома радио. Второй вариант такого толкования не предполагает.
В обоих случаях ставится запятая.
Если "и" в значении "даже", то запятая не нужна. В остальных случаях знаки ставятся.
Слово мама употреблено здесь в метаязыковой функции, т. е. для указания именно на это слово, а не на обозначаемый им предмет. В этом случае слово должно быть как-то выделено — кавычками, курсивом, разрядкой или каким-либо другим способом: слово «мама»; слово мама; слово м а м а и т. п.
Правильно: В связи с 80-летием (чего?) детского дома.
Пунктуация верна, дополнительные знаки препинания не требуются.
Лучше поставить тире: Хочешь – иди гулять, хочешь – оставайся дома.
