Названные Вами конструкции предложениями не являются, поэтому рекомендовать определенную падежную форму нельзя.

В винительном. Звать требует винительного падежа.

Возможно: искать добро (определенное) и добра (любого).

См. в "Справочнике по пунктуации".

Корректен первый вариант (в первый и в последний день).

Авторы «Словаря грамматических вариантов русского языка» (3-е изд. М., 2008) Л. К. Граудина, В. А. Ицкович, Л. П. Катлинская соглашаются с общим выводом, сделанным Д. Э. Розенталем: «...путь развития форм на -ен и на -енен был таким: от более древней формы на -ен, восходящей к старославянскому языку, к форме на -енен, а затем возврат к форме на -ен в наши дни».

В словаре отмечено, что «для прилагательных с безударным суффиксом более перспективными представляются краткие формы на -ен, а не на -енен, хотя последние тоже возможны как в письменной, так и в устной речи». При этом несколько прилагательных с ударением на суффиксе в краткой форме употребляются преимущественно с концовкой -енен: надменен, неприкосновенен, несомненен, обыкновенен, откровенен, почтенен, проникновенен, современен. Вместе с тем для структурно одинаковых с ними прилагательных «высокого стиля» большей частью краткая форма в словарях или не зафиксирована, или представлена лишь в форме на -ен (благословенный, вдохновенный, дерзновенный, незабвенный, сокровенный).

Таким образом, в современном языке у многих прилагательных есть варианты, где-то всё еще предпочтительна (или даже единственно верна) форма на -енен, но всё-таки общее направление движения – в сторону преобладания вариантов на -ен.

Общего правила по этому поводу нет.

В отсутствие в данном случае употребляется в значении "при отсутствии", поэтому в конце пишется Е. Верно: Замороженными пальцами в отсутствие горячей воды. Заторможенными мыслями в отсутствие, конечно, тебя.

Кавычки не нужны. Правильно: фестиваль, канувший в Лету из-за смены руководства предприятия.

Верно: в кружок ходит 2021 ученик.