Название Грамота мы заключаем в кавычки только в сочетании со словом портал: портал "Грамота.ру". Рейтинг Рунета — название специального проекта, поэтому первое слово в нем пишется с прописной. Именование Рунет пишется с прописной буквы. 

Слово всеопределяющий нормативными словарями русского языка не зафиксировано. Однако оно не только потенциально возможно, но и изредка используется авторами художественных и др. текстов, например: Таким образом, весь стиль повести находится под сильнейшим, всеопределяющим влиянием чужого слова [М. М. Бахтин. Проблемы поэтики Достоевского (1963)]; Религия опять делается в высшей степени общим, всеобщим, всеопределяющим делом [Н. А. Бердяев. Новое средневековье (1924)]. 

Приложение — это компонент, главная функция которого состоит в дополнительной характеристике определяемого слова. Эта дополнительная характеристика может носить уточняющий характер, может служить указанием на особую важность предмета в каком-либо отношении (старейшая газета России в Вашем примере), может называть классифицирующий признак предмета (летопись в Вашем примере) и др. Поэтому ориентироваться разумнее не на различные попытки вывести правила разграничения приложений и определяемых слов, которые содержатся в различных пособиях, но не охватывают и не могут охватить всего разнообразия смысловых и прочих отношений в конструкциях с приложениями, а на этот главный признак: то, что служит дополнительной характеристикой, и является приложением.

Как Вы уже поняли, никаких реальных ограничений на то, чтобы главное слово было собственным наименованием в кавычках, не существует. Безусловно, бывает, что такое название как раз и служит приложением (кафе «Березка»), но из этого нельзя выводить никакого правила.

Когда имеется обособление, решать, конечно, проще: в обоих Ваших примерах обособленные компоненты и являются приложениями.
 

ДИНАСТИЯ, -и; ж. [греч. dynasteia - господство]. 1. Ряд монархов одного рода, последовательно сменявших друг друга на троне по праву наследования. Д. Романовых в России. Д. Бурбонов во Франции. 2. Ряд представителей разных поколений рода, занимающихся из поколения в поколение каким-л. ремеслом, работающих по одной специальности. Д. сталеваров. Д. врачей. Рабочая д. Цирковая д. 

Поэтому корректно: род Толстых, семейство Толстых. 

Выражение семейная династия содержит ошибку речевой избыточности  (плеоназм). См.: 

Большой толковый словарь русских существительных

ДИНАСТИЯ, -и, ж. Перен. Ряд представителей разных поколений одного рода, занимающихся каким-л. общим ремеслом, работающих по одной специальности и передающих от поколения к поколению мастерство, трудовые традиции. Надеюсь, вы меня слышите и готовы подтвердить, что в отличие от нынешнего поколения революционеров вы собираетесь восстановить и продолжить градовскую династию врачей! (В. Акс.).

Правильно: без детских капризов.

В словарях указаны не все уменьшительно-ласкательные формы. Слово мотыжка можно использовать в наименовании товара.

Что касается второго вопроса, то сочетание некорректно, поскольку художество не то же самое, что рисование.

Обращение отделяется от союза запятой: Но, милостивый государь...

После сокращения тыс. точка ставится, после сокращений млн и млрд – нет.

Знаки стоят правильно. О вводных словах, входящих в состав обособленных оборотов, см. в «Справочнике по пунктуации». Обратите внимание: уточняющую конструкцию в частности у Максима лучше поставить сразу после уточняемого слова ребят.