Аббревиатура УЗИ пишется только большими буквами.

Верно написание со строчной буквы во всех значениях.

С прописной буквы пишется слово Пасха в значении 'праздник' (ср.: пасха 'кушанье').

Орфографическим нормам соответствует написание Русско-азиатский банк.

Правило таково. В названиях организаций с прописной буквы пишется только первое слово и входящие в состав названия имена собственные. Оба компонента первого сложного слова пишутся с прописной буквы в двух случаях: 1) если название начинается с географического определения с первым компонентом Северо-, Западно-, Юго-, Восточно-, Центрально- и 2) если название начинается с прилагательного, образованного от географического названия и пишущегося через дефис. (Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006. § 189, примеч. 1.)

Ср.: Российско-американский молодежный оркестр, Северо-Кавказская железная дорога, Санкт-Петербургский государственный университет.   

Правильно: Российско-итальянский совет по экономическому сотрудничеству.

В названиях организаций с прописной буквы пишется только первое слово и входящие в состав названия имена собственные. Оба компонента первого сложного слова пишутся с прописной буквы в двух случаях: 1) если название начинается с географического определения с первым компонентом Северо-, Западно-, Юго-, Восточно-, Центрально- и 2) если название начинается с прилагательного, образованного от географического названия и пишущегося через дефис.

Ср.: Российско-американский молодежный оркестр, Северо-Кавказская железная дорога, Санкт-Петербургский государственный университет.   

Следует писать в кавычках с большой буквы: ехал на «Сапсане», на «Ласточке».

Слово республика пишется с большой буквы, слово Карелия склоняется: ...в республике Карелии.

Следует писать с маленькой буквы.

Прописные и заглавные буквы — это большие. Строчные — маленькие.

Дополнительные знаки препинания не требуются. Первое слово предложения пишется с большой буквы.