Все предложения корректны и по смыслу синонимичны, но имеют стилистические различия. Вариант с бессоюзным сложным предложением уместен в повествовании, например: Захожу в комнату. Вижу: кот спит (двоеточие в бессоюзном сложном предложении с изъяснительными отношениями можно заменить на тире). В этом же контексте может быть употреблено и предложение Вижу спящего кота, но повествование будет менее динамичным, а действительное причастие настоящего времени (спящего) придаст ему книжный характер. Такое предложение более уместно в описании, где спящий кот — одна из деталей картины, например: Вижу уютную комнату. Вижу спящего кота. Вижу часы на стене...

Слово парагон включено в академический «Русский орфографический словарь» как название шрифта и медицинского препарата (см. словарную фиксацию). Толковые словари зафиксируют слово, если для этого будут лингвистические основания. Прежде всего слово должно стать более или менее употребительным в русском языке, и не только в узкой профессиональной сфере. Интересно, что в «Большом академическом словаре русского языка» описаны слова парагонит и парагонитовый: 

Парагонит, а, м. Спец. Редкий минерал, натриевая слюда. Химический состав парагонита.

— Толль, Прилож. к слов. 1866: парагонит; Слов., иностр. слов 1937: парагонит. — От греч. <...> — вводящий в заблуждение.

Парагонитовый, ая, ое. Спец. Содержащий в себе парагонит. Парагонитовые сланцы. 

Полное прилагательное типа бескрайний, конечно, может играть роль сказуемого; для полного действительного причастия типа холодящий эта роль гораздо менее естественна, сравним: *Звёзды холодящие до дрожи — Звёзды холодят до дрожи (здесь явно предпочтителен второй вариант, со спрягаемой формой глагола). Вместе с тем оба приведенных Вами предложения будут в полной мере соответствовать нормам русской грамматики, если считать, что это номинативные (назывные) предложения — односоставные предложения с главным членом-подлежащим, в которых сообщается о существовании и наличии предмета. В данном случае они содержат распространители — согласованные распространенные определения, находящиеся после определяемого слова. Такие распространители выделяются запятыми: Одиночество, бескрайнее, как степи, Звёзды, холодящие до дрожи.

У слова что есть значение 'который', и такое употребление очень распространено в художественной литературе. Вариант демоны, что живут в каждом вовсе не является менее правильным, чем демоны, живущие в каждом или демоны, которые живут в каждом. Не очень понятно, почему Вы заподозрили, что это новое правило: подобные конструкции в изобилии встречаются в русской классике. Например: Старый дуб, что посажен отцом. Некрасов. Где насекомые, что так разнообразно жужжали в траве? Гончаров. Вот подарок тебе, что давно посулил. А. Кольцов. Не из тех ли только он бездушных, что в столице много встретишь ты? Некрасов. Спой мне песню ту, что пел ты в хате лесника. Полонский.

Слово «теперь» здесь не вполне справедливо: словари пишут о допустимости ударения до́говор (при предпочтительном догово́р) уже много десятилетий. В словаре-справочнике «Русское литературное произношение и ударение» под ред. Р. И. Аванесова и С. И. Ожегова (1959) указано: догово́р и допустимо в разговорной речи до́говор. Что касается нормативной оценки варианта договора́, то она в разных словарях неодинаковая: где-то такое ударение считается допустимым, а где-то ошибочным.

Студентам можно сказать правду: в образцовой литературной речи по-прежнему следует использовать вариант догово́р, догово́ры, при этом ударение до́говор не ошибочно, но гораздо менее желательно.  

Да, почти всегда в 3-м лице. На это указывают и толковые словари. Однако изредка встречается и 2-е, и даже 1-е лицо, ср.: «Ты очень печальна, ты страдаешь!» — «Зубы болят…» — отвечала она. «Нет, не зубы — ты вся болишь; скажи мне… что у тебя?» (И. А. Гончаров, «Обрыв»); Горло-то не болит, да зато весь болю: слабость, нервность и сна нет (Н. А. Некрасов, из письма); Дуй, ветер! Сыпь, дождь пополам со снегом! Мокни, моя спина! Болите, мои руки!.. (Б. Ш. Окуджава, «Будь здоров, школяр»).

В свою очередь — это грамматический фразеологизм. О них писали А. Баранов и Д. Добровольский в книге «Основы фразеологии». Грамматические фразеологизмы — это неоднословные выражения, которые с содержательной точки зрения характеризуются идиоматичностью значения (т. е. их план содержания не вычисляется по регулярным правилам) и которые связаны с нерегулярным выражением грамматических (в том числе модальных) смыслов и/или представляют собой сочетания различных служебных слов.

Такие фразеологизмы могут выполнять метатекстовые функции, вводить примеры и т. п. То есть роль члена предложения в данном случае — не критерий фразеологичности. Так же устроены тем не менее, по меньшей мере, чуть что, в том числе.

Название Республика Беларусь (или просто Беларусь) употребляется как официальное название, слово Белоруссия используется при неофициальном употреблении. Официальное название зафиксировано в Общероссийском классификаторе стран мира под номером 112 (краткое название — Беларусь, полное — Республика Беларусь). Тем не менее слово Белоруссия продолжает существовать в современном русском языке и употребляется в неофициальных контекстах и в названиях некоторых топонимов. Например, сочетание Западная Белоруссия зафиксировано Орфографическим академическим ресурсом «АКАДЕМОС». Специалисты выделяют белорусский вариант русского языка как имеющий характерные особенности. Такой вариант языка может в отдельных аспектах регламентироваться законодательными актами Республики Беларусь, но их действие не распространяется на языковые нормы в других государствах.

Те правила правописания, которые размещены на нашем портале и параграф из которых Вы привели, – это «Правила русской орфографии и пунктуации» 1956 года, официально действующие и поныне. Справочники по правописанию Д. Э. Розенталя полностью основаны на этом своде правил, представляют собой своего рода расширенный комментарий к ним (как есть конституция – тонкая брошюра и комментарий к конституции – толстая книга). Поэтому противопоставлять «Правила» 1956 года и справочники Розенталя нельзя: речь идет об одних и тех же письменных нормах.  «У Розенталя все четко и понятно» потому, что правила правописания в его справочниках описаны более детально и проиллюстрированы бОльшим количеством примеров.

1. ...поворачиваются направо-налево...

2. После того как работники сделают необходимое количество шагов…

3. Продолжая двигаться вполшага...

4. При численности подразделения 4 человека и менее всегда...

5. Работники остальных отделов обозначают шаг на месте и(,) по мере выхода в составе отделов из колонны(,) идут дальше… Выделение запятыми вариативно.

6. Подпись под картинкой: Местонахождение руководителя.

7. В одном–двух шагах. 

8.  Отбивка нужна: 1. ФИО; 2. Дата рождения... 

Для улучшения навыков написания и редактирования текстов Вам могут помочь пособие А. Э. Мильчина и Л. К. Чельцовой "Справочник издателя и автора: редакционно-издательское оформление издания", а также словари и справочники, размещенные на нашем портале.