В кавычках пишутся полные названия конкретных лексикографических изданий. Например: в "Словаре русского языка" С. И. Ожегова, но: в словаре русского языка или в словаре Ожегова.  

Что касается Национального корпуса русского языка, то его название пишется без кавычек, поскольку это не собственное имя, а общее название для определенного типа языковых корпусов.

Такая логика губительна для правописания. Правила написания не со словами разных частей речи и без того непросты и не нуждаются в дальнейшем усложнении (к тому же искусственном, никак не опирающемся на практику письма). Аналогии с правилами написания не с прилагательными не видим: у Вас в обоих примерах отрицание действия, а не утверждение.

В русском языке нет слов, описывающих ситуацию однополого брака; слова женат и замужем употребляются, когда речь идет о союзе мужчины и женщины. В рассматриваемой ситуации каждый из супругов может говорить я состою в браке, а если речь идет об обоих супругах, можно сказать: заключили брак, вступили в брак, сочетались браком, создали семью.

Общее правило: в названиях исторических государств с прописной буквы пишется первое слово названия, соединенные дефисом части слова и собственные имена. Родовые термины пишутся преимущественно со строчной буквы. Академический орфографический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН фиксирует: Владимиро-Волынское княжество, Владимиро-Суздальское княжество, Галицкое княжество, Северское княжество  и др.

Прилагательное ставится во множественном числе в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что определение относится к обоим однородным членам. Например: положить мелко нарезанные зелень и мясо (иначе будет неясно, следует ли резать мясо). В приводимом Вами примере такой необходимости нет, поэтому определение может стоять как в форме единственного, так и в форме множественного числа. 

Корректно: Ваша сим-карта и телефон не поддерживают сеть... Указанное правило гласит, что определение может стоять в форме единственного числа, если оно относится как к ближайшему существительному, так и к последующим. В данном случае очевидно, что определение относится к обоим объектам, принадлежащим одному лицу, то есть этот случай относится к приведенному Вами правилу.

Запятая перед что необходима в обоих случаях: она разделяет главную и придаточную части сложноподчиненного предложения. В первом случае слово что является союзом, во втором — союзным словом. Поскольку на союзное слово, в отличие от союза, падает логическое ударение, это уместно обозначить в тексте шрифтовым выделением или надстрочным знаком, например: Я знаю, что́ говорю.

В этом предложении глагол смотри может иметь прямое глагольное значение (говорящий предлагает адресату направить взгляд на что-л.) либо значение междометия (говорящий выражает удивление по поводу чего-л., см. словарную статью слова смотреть в «Большом толковом словаре»). В обоих случаях запятая перед что нужна, но во втором предложение уместно сделать восклицательным: Смотри, что придумали!

Возможны два варианта: 1. Слово 13-го является уточняющим обстоятельством по отношению к обстоятельству в пятницу: В пятницу, 13-го, всё возможно. 2. Слово 13-го является несогласованным определением по отношению к существительному пятница (пятница 13-го выступает как особое понятие): В пятницу 13-го всё возможно. Заметим, что в обоих случаях числительное должно стоять в форме родительного падежа.