Здесь возможны варианты: в день открытых дверей и на дне открытых дверей. Второй вариант предпочтителен, поскольку здесь слово день употреблено, скорее, в значении "мероприятие", чем в значении "дата". Ср. слово вечер в том же значении: ждем вас на вечере поэзии, а не в вечер поэзии.

Корректны оба варианта.
При этом Д. Э. Розенталь пишет, что при числительных двое, трое, четверо глагол-сказуемое со значением действия (не состояния) обычно употребляется в форме множественного числа: Двое рабочих в белых фартуках копались около дома (Чехов). 
Порядок слов не влияет на выбор формы сказуемого.
 

В русском языке названия произведений, документов и других объектов, записанных на латинице, обычно не выделяют кавычками, так как латиница сама по себе служит достаточно сильным средством выделения. Однако в этом "обычно" и кроется то обстоятельство, что запрета на выделение кавычками таких наименований нет.    

Слово просьба не зафиксировано в справочниках и словарях в качестве вводного. Приведенное предложение — бессоюзное сложное с пояснительными отношениями; его первая часть восстанавливается примерно как У меня к вам просьба, далее следует сама эта просьба. Такой контекст требует двоеточия: Просьба: закрывайте окна при уходе из офиса!

Если авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение, то они начинаются с прописной буквы:

– Я же говорила. – Гордая мама подпёрла бока руками.

– День получки! – Сторож похлопал себя по карману.

Обратите внимание: второе предложение построено неудачно, т. к. глагол заметила воспринимается как глагол говорения.

Это выражение употребляется в значении: мысль, способ и т. п., помогающие разобраться в сложной обстановке, найти выход из какой-либо трудной, запутанной ситуации. Выражение возникло из древнегреческого мифа о Тезее, убившем Минотавра. Дочь критского царя Ариадна дала Тезею клубок ниток, чтобы он мог найти выход из лабиринта.

Если фамилия Королева прдставляет собой не притяжательное прилагательное с суффиксом -ев-, а существительное (что возможно, хотя и сомнительно с учетом традиции образования русских фамилий и употребления буквы Е вместо буквы Ё), то такая фамилия должна склоняться по образцу существительных типа мама: Королевы, Королеве и т. п.

Корректно с формой единственного числа существительного: Электронная и аудиоверсия этого издания доступны для скачивания на нашем сайте. Сравним примеры типа Правая и левая половина дома были освещены в «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой и Н. П. Кабановой.

Если высказывание передается не дословно, то правила постановки знаков при прямой речи применять не требуется; два приложения, расположенные перед определяемым словом и характеризующие человека с разных сторон, не разделяются запятой: В результате на фасаде дома должен появиться мурал с портретом героя, рассказал участник проекта художник Иван Иванов.

Действительно, интеграция метрополитена и железной дороги породила орфографическую проблему. Была дана рекомендация о написании, которая на тот момент представлялась оптимальной. В каких-либо документах она не была закреплена. Придерживаются ли ее в транспортных организациях, нам неизвестно, но в общей письменной практике название станций МЦД закрепляется все же без кавычек.