Если человек одновременно является и главным специалистом, и педиатром в структуре Министерства здравоохранения, то рассматриваемые сочетания образуют двойное название должности, между частями которого ставится тире. См. пункт 1 параграфа 154 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина, где в качестве примера приводится название должности директор — художественный руководитель. 

Сочетания высотой с дерево и размером 220х200 в приведенных предложениях выполняют функцию несогласованного определения (при существительных дом и одеяло соответственно). Поскольку они обозначают постоянные признаки предметов, обособления они не требуют (как в примере На табуретках с золочеными ножками сидел целый ряд дам (Булг.) из полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).

В этом предложении инфинитив передавать играет роль несогласованного определения при существительном честь. Поскольку это существительное имеет при себе согласованное определение (большая), а инфинитивное сочетание находится в конце предложения, тире нужно поставить (см. параграф 60 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Для меня большая честь — передавать ее мудрость.

Запятая нужна: она закрывает придаточную часть сколько копий бланков печатать сегодня. Поскольку придаточная часть стоит перед главной, вместо запятой возможно тире (см. пункт 1 параграфа 124 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): К примеру, сколько копий бланков печатать сегодня — зависит от того, сколько пациентов сегодня обратятся за ними.

В примечании к пункту 1 параграфа 15 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина говорится, что тире после местоимения это в роли подлежащего возможно «при подчеркивании указания на данный предмет: Это — кабинет (И это — кабинет)». В приведенном примере подобного не наблюдается, тире не ставится.

Правило в его современном виде приведено в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина. При этом обратим внимание, что и в школьных учебниках, и в справочнике формулировки некатегоричные: в учебнике — со словом обычно, в справочнике — со словом предусмотрено. Соответственно, оба варианта, с обособлением и без, корректны.

В этом предложении для постановки сразу двух знаков — и запятой, и тире — нет оснований. Это регулируется правилами оформления сложноподчиненных предложений: в параграфе 115 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина говорится о запятой, в параграфе 124 — о тире, которое здесь действительно возможно, но только как знак, заменяющий запятую.

Слово безоплатный использовалось в прошлом в значении ‘неоплатный’, ‘который невозможно выплатить’, чаще всего в сочетании безоплатный долг. Оно зафиксировано в академическом толковом словаре под ред. Я. К. Грота (Словарь русского языка, составленный Вторым отделением Императорской Академии наук. Т. 1. СПб., 1895. С. 149). В состав современного литературного языка слово безоплатный не входит.

Объединение в однородном ряду логически несовместимых понятий чаще всего называют си́ллепсисом (си́ллепсом). Такое синтаксическое построение может быть как ошибкой, так и намеренным стилистическим приемом, преследующим те или иные (часто комические) цели. См., например: Культура русской речи: энциклопедический словарь-справочник / Под ред. Л. Ю. Иванова, А. П. Сковородникова, Е. Н. Ширяева и др. М., 2003. С. 614–615.

Нужно править. Заголовок должен быть понятен читателю – это важнее, чем наличие рифмы в нем. Такой заголовок, как сейчас, совершенно непонятен.