Это этимологически родственные слова, исторически они восходят к одному и тому же корню. Но в современном русском языке однокоренными эти слова уже не являются.
Верно: утеряны документы Иванова; утеряны документы на имя Иванова.
Оба варианта верны.
Кавычки стоят правильно, запятые не требуются.
Вообще говоря, это не одно и то же: слова могут быть не однокоренными в современном русском языке, но исторически восходить к одному и тому же корню, тогда их называют родственными. Но в школьной программе нередко родственными называют и однокоренные слова.
Запятая не нужна: при двух однородных членах предложения с повторяющимся союзом и запятая не ставится, если образуется тесное смысловое единство (обычно такие однородные члены не имеют при себе пояснительных слов). Такие смысловые единства образуются словами с ассоциативными (часто антонимическими) связями, что мы и видим в приведенном Вами примере.
Предпочтительно: и в первом, и во втором районе.
Запятую в подобных конструкциях обычно следует ставить.
Мужская фамилия Волонтырь склоняется, женская не склоняется.
