См. в «Словаре трудностей».
Правильно слитное написание: Над головой хрипло орали невидимые за листьями птицы. Здесь нет влияющего на раздельное написание творительного действующего лица (не видимые мною) или творительного орудия действия (не видимые глазом).
Лучше: контроль (чего) продукции.
См. ответ на вопрос № 252391.
Предпочтительно: контроль за промыслом.
Литературная норма требует склонять такие названия в сочетании с родовым словом: над селом Родным, в селе Угловом, под селом Верхнесадовым (если начальная форма — Верхнесадовое). Но в речи официальной, канцелярской географические названия в функции приложения часто остаются несклоняемыми.
Объявление, конечно же, написано неграмотно. Следовало написать: в пачкающей одежде (т. е. в одежде, которая пачкает).