Это определение. Задать точный вопрос в этом словосочетании затруднительно.

Предпочтительно слитное написание; наличие пояснительных слов не влияет на слитное написание не с прилагательными: иной мир, непохожий на серые будни простонародья... Однако и раздельное написание ошибкой не будет.

Двумя запятыми выделен деепричастный оборот (вторая из них к тому же поставлена перед союзом но между частями сложносочиненного предложения); запятая разделяет однородные сказуемые не просил и чернел, соединенные бессоюзной связью; запятая поставлена между однородными определениями сером и блестящем посередине от масла (первое из них одиночное, второе распространенное).

В данном случае корректен только один вариант написания: моя ундина (со строчной буквы и без кавычек). Здесь слово ундина — синоним слова русалка. Постановка/непостановка кавычек зависит от контекста, в котором Вы собираетесь употребить это слово. Например: девушка, которую Печорин зовет "ундиной". Здесь кавычки будут служить маркером чужих слов. 

В том же параграфе «Однородные и неоднородные приложения» в справочнике Д. Э. Розенталя «Пунктуация» есть небольшое примечание: «Неоднородные приложения, стоящие перед определяемым существительным, становятся однородными в положении после определяемого слова». Таким образом, запятая не ставилась бы, если бы фамилия стояла в конце, после указания должности и званий. А в рассматриваемом контексте запятая нужна.

Запятую ставить не нужно. Но это разные случаи: в Вашем вопросе – однородные придаточные, а в предложении, о котором идет речь, запятая не ставится, т. к. части сложносочиненного предложения (у этого героя нет мечты и он ничего не умеет) имеют общую, поясняемую ими, часть сложного предложения (на самом деле там грустный финал).

Можно оформить мысли героев по правилам оформления прямой речи (в кавычках, без предваряющего тире), чтобы читатель мог отличить их от реплик героев.

Имя этого литературного персонажа еще не стало нарицательным существительным. Корректно написание с прописной: Гумберта Гумберта.

Сочетание самый первый очень употребительно и не противоречит лексическим нормам. Первый может употребляться в речи не только как числительное, но и как прилагательное, образующее степени сравнения. Например, словарями фиксируются такие значения: 'предшествующий другим однородный, подобный', 'такой, который начал какое-либо действие'.

Примеры употребления оборота: Но странно, эти самые первые, пришедшие ночью в Сталинград без оружия солдаты, отдавая хлеб защитникам города, обнимая и целуя их, словно были печальны, не веселились и не пели (В. Гроссман); Письмо было датировано самыми первыми годами нового века, и город, который стоял около даты, Ганка знал хорошо (Ю. Домбровский); В самых первых статьях о формализме «Правда» специально говорила о формалистских ошибках В. Мейерхольда, но он отнесся к этой критике, по обыкновению, несерьезно и безответственно (Ю. Анненков).

См. раздел Деепричастие в учебнике Е. И. Литневской на нашем портале.