Ваше замечание справедливо. В районе  в значении 'приблизительно' – разговорное употребление. В нейтральных контекстах лучше его избегать.

Корректная пунктуация: В связи с этим, ввиду отсутствия Положения о Почетной грамоте и Благодарственном письме администрации Тюменского муниципального района, утвержденного постановлением главы Тюменского муниципального района, на официальном сайте администрации Тюменского муниципального района, необходимо предоставить в срок не позднее 05.04.2013 в прокуратуру района копию Положения о Почетной грамоте и Благодарственном письме администрации Тюменского муниципального района, утвержденного постановлением главы Тюменского муниципального района.

Правильно: Островский район, хотя город Остров. Ср.: Белгород, но Белгородская область. Русский язык не любит, когда после ударного слога остается много безударных.

1. Корень, действительно, деревн-. В нем есть беглая гласная. Проверить можно, изменяя слово по падежам и числам: деревня - нет деревень.

2. Ответ аналогичен. Есть формы слов (не являющиеся отдельными, новыми словами): пять шишек, шесть кружек.

Судя по всему, автор хотел придать причастному обороту дополнительное обстоятельственное значение: «деревня мирно спала, потому что была засыпана снегом». Сравним примеры из параграфа 46 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина: Окруженный зеленой изгородью дом привлек наше внимание (слово дом включено в определительное словосочетание окруженный зеленой изгородью дом). — Окруженный зеленой изгородью, дом не был виден издали (определение обособлено, так как осложнено обстоятельственным значением: так как был окружен зеленой изгородью).

Верно: в Дмитровском и Звенигородском районах.

Правильно: Большая часть территории района малонаселённа.

Верно: (жить) в районе.

Тире ставится, если на его месте делается пауза. При отсутствии паузы тире не нужно.