Верно: половина ранее леченных пациентов (удвоение Н из-за зависимого слова).
Для точного ответа нужно знать все предложение. Скорее всего, будет верен вариант из ремфонда, например: Взять из ремфонда.
В значении 'прожить, пробыть где-либо или каким-либо образом' правильно: провести что: как я провел это лето. Это очевидно для любого грамотного носителя русского языка – разумеется, и для создателей фильма «Как я провел этим летом» тоже. Отсюда следует, что в названии фильма (которое, на первый взгляд, содержит явную грамматическую ошибку) «неправильное» управление не случайно – это своего рода загадка, разгадать которую предложено нам, зрителям (по-видимому, после просмотра фильма станет ясно, почему он так называется).
Определения можно рассматривать как однородные.
Сочетание страны мира корректно, никакой избыточности в нем нет. Ср.: страны Европы, страны Азии, страны Ближнего Востока...
Название университета склоняется: в Карловом университете.
Запятые не нужны. Нужно поправить: Всего с учетом ранее поступивших обращений дано 15 ответов.
Запятая не нужна.
