Оба варианта корректны. Выбирать Вам.
Такую проверку можно назвать исторической, так как указанные Вами слова не являются в современном русском языке однокоренными, но они исторически родственные. См. об этом здесь.
После русских приставок, кончающихся на согласный (кроме приставок сверх- и меж-), пишется ы.
В данном случае в приставке с- нет необходимости, лучше использовать глагол интегрироваться (он может отвечать и на вопрос "что делать?", и на вопрос "что сделать?").
Можно использовать оба предлога, в данном случае они синонимичны.
Указанные запятые нужны для выделения причастного оборота.
См. в «Справочнике по фразеологии».
Гласная проверяется: суета суЕт.
Мы можем встретиться в два часа, после обеда.
Постараемся.
Воспользуйтесь словарями (окно «Искать на Грамоте») на нашем портале.