Инфинитив может быть только отгулять. Глаголов *отгулить, *отгулеть и проч. не существует. Если инфинитив оканчивается на -ать/-ять, причастие или отглагольное прилагательное оканчивается на -анный/-янный: отгулянный отпуск.
Правильно: почерпнуть для себя много нового.
В деловых письмах не принято графически выделять слова. Обычно достаточно четко построить предложение или сделать пояснение.
Вариант На фото была та самая врач допустим. Но лучше: На фото была та самая женщина-врач.
Оба варианта корректны. Выбирать Вам.
Такую проверку можно назвать исторической, так как указанные Вами слова не являются в современном русском языке однокоренными, но они исторически родственные. См. об этом здесь.
После русских приставок, кончающихся на согласный (кроме приставок сверх- и меж-), пишется ы.
В данном случае в приставке с- нет необходимости, лучше использовать глагол интегрироваться (он может отвечать и на вопрос "что делать?", и на вопрос "что сделать?").
Можно использовать оба предлога, в данном случае они синонимичны.
Указанные запятые нужны для выделения причастного оборота.
