Запятая перед тире нужна: она закрывает придаточную часть.
Корректно: Пять проектов прошли на областной этап.
Пунктуация верна. А вот название последней темы слишком запутанно; получается "преступления против интересов службы в органах".
Строго говоря, во второй части, которая представляет собой инфинитивное предложение, никакого типа сказуемого нет. Есть главный член односоставного предложения, выраженный — в данном случае — инфинитивом в сочетании со связкой (в настоящем времени она нулевая, а, скажем, в прошедшем времени обязательно обнаружится: ...а вот кошке к ее гнезду было не подобраться). Сказуемого, которое строилось бы по модели «формальная связка + инфинитив», в двусоставном предложении не бывает. Главный член односоставного предложения может описываться по формуле «главный член в форме такого-то сказуемого», если он действительно отвечает одной из существующих моделей сказуемого (Больного знобит). Здесь же и такого сказать нельзя.
Вы правы, это одна из распространенных ошибок.
Корректно написание без кавычек.
Корректно без кавычек.
Правильно: возражения против чего, возражения на что.
Предпочтительно: Они прошли огонь, и воду, и медные трубы. Отсутствие запятых может указывать на то, что первые два однородных члена предложения образуют интонационно-логическое единство.
Обе формы сказуемого возможны.
