Корректно: музыкальный театр «Новая опера».
Названия регионов как крупных территориальных единиц являются именами собственными и пишутся с прописной буквы. Само слово регион пишется со строчной. Правильно: Уральский регион, Сибирский регион, Волго-Вятский регион, Азиатско-Тихоокеанский регион и т. д.
Эта рекомендация действует даже в том случае, если наименование со словом регион не является официальным.
Ударение падает на а: СВАО, ЦАО...
Верно: Московское княжество в конце ХIV – ХV в. Это читается как: Московское княжество в конце четырнадцатого – пятнадцатом веке.
В названиях организаций с прописной буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные. Правильно: Международная конфедерация союзов художников, Московский союз художников, Санкт-Петербургский союз художников.
Ударение на первом слоге.
Да, кавычки нужны для выделения названия: концерт пройдёт в московском клубе «1930».