Корректно: рассчитаться с помощью карты, рассчитаться картой (ср.: рассчитаться наличными).
Нормативно: она занимается в кружке танцев, ходит на занятия танцевального кружка. В разговорной речи: ходит в кружок танцев и на кружок (=на занятия кружка).
Это сочетание корректно. И фонарь тоже горит, хотя не окисляется, и свет в комнате горит.
Правильно: развести огонь.
Буквально: пройти через все испытания, получить большой опыт.
Правильно: Масличная гора.
Извините за неточность в ответе.
Корректно написание Афинская агора (с прописной буквы пишется первое слово в составе собственных наименований, в т. ч. памятников культуры и архитектуры, ср.: Рязанский кремль).
Форма "у подножья" не будет ошибочной (хотя она и не основная). Ср.: Он пребывал как бы рядом, но наверху, на своей вершине, а они орали у подножья горы (Д. Гранин, Зубр).
