Да, кавычки нужны.

Фундаментальная "Православная энциклопедия" фиксирует вариант с запятой.

Согласно словарям, слово боль  в первом значении может употребляться в форме множественного числа.

Оба варианта корректны, однако первый оборот чаще употребляется с местоимением сам/самый: Вначале их забавлял самый принцип кинематографии, их смешил самый факт того, что живые люди движутся на полотне [Е. Петров. Остров мира. Комедия в 4 актах (1947)]; — Кирилл, — в голосе Романа Артуровича мелькнула усталость, — но разве сам факт того, что мы признаём прослушивание, не является свидетельством нашей честности перед партнёрами? [Алексей Иванов (Алексей Маврин). Псоглавцы. Гл. 21-39 (2011)]. 

Правильно: до колик в животе. В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой (М., 2010) указано: форма единственного числа употребляется в значении множественного при указании на то, что одинаковые предметы принадлежат каждому лицу или предмету из целой их группы, напр.: Солдаты стояли с опущенной головой; Ученики писали карандашом (не карандашами).

Эти фамилии склоняются (как мужские, так и женские).

Нормативными словарями современного русского литературного языка этот термин не зафиксирован, однако он обладает прозрачной морфемной структурой и вполне ясным значением и нередко используется в специальных текстах. Например: Опасные грузы надо останавливать на границе, а не ловить их потом по всей стране, что будет невозможно в условиях отсутствия эффективного механизма прослеживаемости [Алексей Кузьменко. Таможня заменит ветеринаров // РБК Дейли, 26.11.2013]; Прослеживаемость товаров должна обеспечить качество продукции, отметил глава Комитета Совета Федерации по аграрно- продовольственной политике и природопользованию Алексей Майоров на совещании в конце ноября, которое провели перед запуском обязательной маркировки минералки [Питьевая вода обзаведётся QR-кодами // Парламентская газета, 2021.12.23]  

Фамилию Надточий можно воспринять и как имеющую окончание -ий и, следовательно, склоняющуюся как прилагательное (Надточего, Надточему... и в женском роде Надточая, Надточей), и как имеющую нулевое окончание со склонением по образцу существительных (Надточия, Надточию... и в женском роде неизменяемая форма Надточий). Здесь окончательное решение за носителем фамилии.

Можно сослаться на «Справочник по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой (7-е изд. М., 2010), а также на публикации, размещенные на нашем сайте (см. ссылки в конце статьи «Как склонять фамилии (общие рекомендации)»).

Нет, это существительное с предлогом в. Одним из значений слова область является 'место расположения какого-л. внутреннего органа человека или животного; участок тела человека или животного'. Примеры: грудная область; боль в области сердца. Подробнее см. "Большой толковый словарь" под ред. С. А. Кузнецова
https://gramota.ru/poisk?query=область&mode=slovari&dicts[]=42
Предлог в области существует, он употребляется при указании на сферу, в которой что-либо распространяется или рамками которой ограничивается. Синонимичен предлогу в сфере, оба предлога употребляются в книжной речи. Пример:
В области преподавания иностранных языков в последнее время наблюдается определенное оживление.