Корректно написание со строчной буквы.
Кавычки не нужны. Правильно: серебряный век (эпоха расцвета культуры, сопоставимая с золотым веком); но: Серебряный век (в русской культуре и искусстве начала XX в.).
Это вставная конструкция, представляющая собой простое предложение.
Корректно: Здание, в котором расположен отель, — один из красивейших памятников архитектуры Петербурга XVIII века.
В этом фрагменте нет оснований для запятой.
Правильно: вовеки, но во веки веков.
Все названия нужно оставить в начальной форме.
О типе таких заведений - дом трудолюбия.
Если имеется в виду, что история берет начало в середине XX века, то верно: которая. Однако предложение нужно перестроить (сейчас слово которая указывает на существительное республика, а это неправильно). Также непонятно, что значит проект-логичный. Возможно, это слово лучше заменить.
