В современном русском языке эти слова однокоренными не являются. Однако этимологически они могут быть родственными: есть гипотеза (разделяемая, впрочем, не всеми лингвистами), что говно восходит к той же праславянской основе govedo 'крупный рогатый скот', что и говядина, и первоначально говно означало 'коровий помет'.
Это выражение не будет вполне корректным синонимом к "дому престарелых".
Да, можно и нужно.
Нет, корректные варианты: документы с подписью кого-либо; документы, подписанные кем-либо.
Оборот поднять тост не является ошибочным. См. в «Словаре трудностей».
Такой перенос нежелателен, поскольку он не учитывает реальный слогораздел.
Вряд ли такое употребление можно назвать грамотным.
Такое высказывание некорректно.
Такое написание некорректно, как и сама формулировка.
Да, можно.
