В этом предложении имеется несколько ошибок (в порядке слов, выборе лексики, грамматичсеких формах). Корректно: Хотя Достоевский и притягивает рассказчицу своим творчеством, но особое влияние на ее выбор оказывают его болезнь и его внешность.

Правильно: выровнять. Глаголы выровнять и выровняться особые. О них подробно написано в академическом правиле (об орфографической истории слова см. комментарий 3).

Следует склонять мужскую и женскую фамилию. Уточните, пожалуйста, источник ответа. Что касается вопроса, можно ли не склонять, то ответ может быть таким: а кто может заставить склонять?

Табасараны (род. падеж мн. числа табасаран) и табасаранцы (род. падеж мн. числа табасаранцев) – равноправные варианты.

Правило, о котором Вы говорите, касается существительных со значением лица по роду занятий. Такие существительные, называющие лицо или предмет, производящий действие, образованы с помощью суффикса -чик/-щик и мотивированы они, как правило, глаголами: перевозить – перевозчик, переплетать – переплетчик, обходить – обходчик, обмануть – обманщик. В таких словах, действительно, суффикс -чик пишется только после согласных Д, Т, З, С, Ж; после других согласных пишется суффикс -щик.

Теперь о слове шкафчик. В нем выделяется суффикс -чик, имеющий совершенно другое значение (т. е. здесь перед нами суффиксы-омонимы). Существительные, образованные с помощью данного суффикса -чик, имеют уменьшительное значение и мотивированы они именами существительными: шкаф – шкафчик, сарай – сарайчик, рукав – рукавчик, тулуп – тулупчик, костюм – костюмчик, стакан – стаканчик, самовар – самоварчик, стул – стульчик. Суффикса -щик здесь быть вообще не может.

Что касается других слов из данного задания ЕГЭ, то ни в одном из них нет суффикса -чик. В словах огурчик и мячик  выделяется суффикс -ик, а в слове пончик -чик является частью корня.

Слово «сторонник» не обозначает лицо по профессии, занимаемой должности, выполняемой работе, занятию, ученому или почетному званию. Оно обозначает человека, который разделяет какие-либо взгляды или солидарен с идеями кого-либо или чего-либо. Таким образом, это наименование относится к категории "и т. д.". 

Сочетания со словом как не являются приложениями. Приложения — это согласованные определения, выраженные именем существительным (нераспространенное приложение) или именем существительным с зависимыми словами (распространенное приложение). Обороты со словом как выполняют в предложении роль обстоятельства или являются частью сказуемого. Пунктуация в этом случае подчиняется правилам, о которых Вы пишете (оборот обособляется, если имеет значение причинности, и не обособляется при значении 'в качестве'), но речь идет не о приложениях.

Существительное печенье употребляется в значениях 'кондитерское изделие из испечённого теста, имеющее определённую форму и рельеф' (коробка печенья, производство печенья) и 'каждый отдельный кусочек такого изделия'. Во втором значении это слово, конечно, имеет формы множественного числа. Ср.: Потом пили чай с вареньем, с медом, с конфетами и с очень вкусными печеньями, которые таяли во рту. А. Чехов, Ионыч. В пятом часу их, освежённых и повеселевших, поили крепким душистым чаем с печеньями... И. Бунин, Господин из Сан-Франциско. Несмотря на протесты старушки, Вера заказала чай с целой россыпью мелких печений и вафель… Д. Рубина, На солнечной стороне улицы.