Однородность или неоднородность определений зависит от того, характеризуют ли они предмет с одной стороны или с разных. Словарные толкования прилагательных современный ('стоящий на уровне своего века, отвечающий требованиям своего времени') и актуальный ('важный, существенный для решения проблем, задач настоящего времени; насущный, злободневный, современный') говорят о том, что эти определения однородны, а значит, запятая между ними нужна.

В первом предложении после прямой речи ставится запятая, так как она была необходима в месте разрыва вводящих слов автора, ср.: Тысячи людей говорят, подойдя к очереди за газетами...

Во втором предложении после прямой речи должно стоять тире, так как на месте разрыва вводящих слов автора какой-либо знак не нужен, ср.: Если на вопрос вы ответите...

В цитате пунктуация источника, вероятно, была сохранена.

Слова сходный и похожий, действительно, могут быть близки по значению и в отдельных контекстах соотноситься как синонимы. Однако между ними есть смысловые различия, определяемые процедурой сопоставления разных объектов, что находит отражение в типичных сочетаниях этих прилагательных с существительными. Например, обычно говорят о сходных предметах или явлениях. Слово похожий сочетается с широким списком существительных, что объясняется возможностью сближения объектов сравнения, имеющих какие-либо значительные расхождения.

«Это неправильно» — слишком категоричная формулировка. На самом деле такие фамилии можно склонять двояким образом: с выпадением гласного (Нестерёнка, Нестерёнку и т. д.) и с сохранением гласного (Нестерёнока, Нестерёноку и т. д.). Решение о типе склонения принимает носитель фамилии. Лингвисты говорят о предпочтительности второго варианта (с сохранением гласного) только потому, что в этом случае из косвенных форм легко вывести начальную форму фамилии.

Корректно: Родители оправдывают себя в своей глупости, в отсутствии педагогических и психологических знаний фразой «Мы их любим». Вместо того чтобы сказать: «Как мы слабы и глупы!» — они говорят: «Мы их любим». Только я этому не верю. За словами «Мы их любим» я слышу другое. «Какие мы идиоты!» — вот что я слышу.

Аргументы в пользу предлога в есть: скорее всего, авторы фразы имели в виду загрузить приложение, находясь в App Store. На это указывает и оригинал фразы на английском: Download on the App Store (дословно: «загрузить на App Store»).

Хотя время показало, что на практике чаще говорят: загрузить из App Store. Не исключено, что когда-нибудь сотрудники российского офиса Apple учтут это и изменят фразу на иконке.

Здесь возможны варианты в зависимости от того, какой смысл хочет выразить автор. По существу может значить 'в сущности говоря' — в этом случае автор комментирует сочетание ничем не занимаясь, подчеркивая, что оно подходит для характеристики проведения времени в Париже; в таком употреблении это вводное сочетание. Но возможен и другой смысл: ничем по существу (не занимаясь) может значить 'ничем существенным (не занимаясь)'; в этом случае сочетание не вводное.

Употребление форм множественного числа слова сленг возможно. Приведем пример из научного труда: «Особенностью функциональной парадигмы национального чешского языка является также и то, что так называемые социальные диалекты (профессиональные говоры, жаргоны и сленги) возникают и развиваются на базе не литературного языка, а диалекта или обиходно-разговорной речи» (Функционирование славянских литературных языков в социалистическом обществе / АН СССР, Ин-т славяноведения и балканистики; Отв. ред. Л. Н. Смирнов. М.: Наука, 1988.)