Возможны оба варианта написания. Если нужно сделать отсылку к известному герою фильма, для которого слово терминатор осмысляется как имя, то нужно написать с прописной буквы. Если слово используется как родовое название роботов, то правильна строчная буква. 

Такой оборот не является речевой ошибкой.

Запятая не нужна. Деепричастный оборот не обособляется, если деепричастие имеет в качестве зависимого слова союзное слово который в составе определительной придаточной части сложноподчиненного предложения (такое деепричастие от придаточной части запятой не отделяется), ср.: Перед старыми заводами возникали десятки серьёзных проблем, не решив которые невозможно было перейти к новым методам постройки кораблей; Направо была дверь, пройдя которую можно было попасть в коридор, ведущий на сцену.

Арт- как первая часть сложных слов в значении «художественный, относящийся к искусству», пишется через дефис. Поэтому верно: арт-бутерброд.

Запятые нужны: А где, как не на различных состязаниях, можно и на других посмотреть, и себя показать?

Запятые не нужны. В подобных вопросительно-восклицательных предложениях слова видишь, знаешь не выделяются запятыми. Ср.: Потом лето было знаешь какое! Там знаешь какое положение? Нас знаешь сколько болельщиков! Я нашёл в углу знаете что?  А он видишь что делает?

Словарной фиксации пока, разумеется, нет. Но, например, образованное тем же способом слово пиццерия, уже давно существующее в языке, дается в словарях с двумя вариантами ударения: пиццЕрия и пиццерИя, т. е. пока эти варианты конкурируют. Поэтому по аналогии можно говорить о допустимости вариантов сидрЕрия и сидрерИя, а какой из них в итоге останется в языке – покажет время.

Знаки препинания расставлены верно.

Запятая не ставится, поскольку оборот с союзом КАК представляет собой часть сказуемого.

Правильно: Расскажи, как он тебе дорог и что ты ценишь в нем больше всего.