Сочетание кожно-венерологический диспансер пишется строчными.
Правильно: район Нагатинский Затон. Но: Нагатинский затон – о самом затоне.
Названия кафедр пишутся строчными. Правильно: профессор кафедры электроники.
Запятую надо поставить: таблетки, покрытые оболочкой.
Корректно: школа города Шатуры.
Корень: москв.
Как ни странно, существительным. Но по грамматическому значению близко к предлогам.
Топонимы с родовым словом остров обычно не склоняются: на острове Кипр.
Это слово не успело еще попасть в нормативные словари русского языка, поэтому «правильного» и «неправильного» написания нет. Можно выбрать наиболее распространенный вариант и его использовать.
Отдельного правила нет, но в справочнике Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?» (7-е изд. М., 2005) приведены примеры написания названий фонтанов: «Фонтан невинных» (в Париже), фонтан Треви, фонтан «Самсон». Таким образом, фонтан пишется с маленькой буквы, если употребляется как родовое слово, и с большой, если является первой частью названия. Корректно: «Фонтан плодородия».