Если речь идет о чем-то, что солили в бочке, то корректно написание с двумя н и ударением на первом слоге: соленные в бочке.
Такое употребление допустимо в непринужденной разговорной речи, но не в нейтральных контекстах и тем более не в официальной речи.
Верно: одна из черт, свойственных герою.
Такого слова нет. Можно сказать: уполномоченный по правам.
Возможно и с запятой, и без нее.
Возможно прочтение: шесть с половиной пудов, шесть и одна вторая пуда.
Правильно с двумя н, т. к. это наречие, образованное от слова, в котором пишется два н – сбалансированный. Ср. с причастием: звучание идеально сбалансировано дирижером.
Запятая перед словом узнать не нужна: Я выглянул в окно узнать, какая погода.
Скорее всего, имеется в виду слово замухрышистый.
Запятые не нужны: Одна из лучших мною прочитанных книг.
