Кавычки уместны, если нужно обратить внимание адресата текста на слово нейронка или если нужно употребить это разговорное слово в нейтральном контексте.
Кавычки можно не ставить, если нет сомнений в том, что слово будет понятно читателю, и если стиль текста дает возможность употреблять разговорные слова.
Нет, не нужно.
Провести – многозначное слово, у него есть и другие значения, помимо приведенных Вами. См. словарную статью.
Если речь идет о букве, то ударение падает на а. Вот ссылка на словарную статью.
Это разговорный оборот (см. последнее значение в статье толкового словаря), он допустим в непринужденной речи.
Да, слово вещи можно использовать таким образом (в соответствии с третьим значением в словарной статье).
Вы имеете в виду аббревиатуры? Этому вопросу посвящена статья в "Письмовнике" Грамоты.Ру.
Этому вопросу посвящена статья в рубрике "Письмовник": 90">http://www.gramota.ru/spravka/letters/?rub=rubric90.
В этой статье Вы найдете подробные разъяснения: http://www.gramota.ru/spravka/letters/?rub=bolshinstvo.
