Скорее: какая ветка (определение).
Это определение: рубашка (какая?) навыпуск.
Корректно: Галия, Галии, Галие, Галию, Галиёй.
В значении "зарабатывать, делая массаж" верно: зарабатывать массажем.
Какая именно падежная форма этих слов Вас интересует?
Корректно: на Горный Алтай, в район Горного Алтая.
Вы верно заметили: добавление отрицания превращает двусоставное предложение с грамматической основой документ существует в односоставное безличное (есть особая разновидность предложений — безличные отрицательные) с грамматической основой не существует.
В школьных учебниках термины однокоренные и родственные слова используются как синонимы. Однако описывать некоторые языковые явления удобно, разграничивая значения этих слов. В этом случае родственными называют слова, которые на современном этапе развития языка не осознаются как содержащие общий корень, но которые когда-то были однокоренными. См., например, наши ответы на вопросы № 284150, 282399, 281311.