Правильно: к Крещению.
Можно.
Корректны оба варианта: что нам нужно сделать для того, чтобы поступить в необходимый нам / для нас вуз.
Подробный ответ Вы найдете в статье "Большого толкового словаря".
Правильно: Чем обязан..?
Лучше обособить: Этот путь был наполнен самыми разными событиями, но, несмотря ни на что, Вы всегда поддерживали нас, помогали нам.
Наличие частицы (только) перед подчинительным союзом (когда) не служит основанием для пропуска запятой (см., например, параграф 115 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина), поэтому верно: О маминой находке на Олиной одежде он узнал, только когда сестра постучала к нему в комнату.
Возможны оба варианта; словари отмечают, что предлог ко употребляется со словом день в значении приуроченности к какому-нибудь событию: подарок ко Дню учителя, предлог к – без значения приуроченности.
Корректно в кавычках и без дефисов: связь «многие ко многим».
