Запятая не требуется: Старт заседанию ученого совета дал ректор университета академик РАН Иван Петров.
Нет, это женское имя не склоняется.
Написание Ы в слове синицын обусловлено наличием согласного Ц (написание в данном случае отражает произношение): синицын, лисицын, царицын. Во всех остальных случаях в суффиксе притяжательного прилагательного пишется И, при этом написание И не зависит от того, образовано ли прилагательное от имени собственного или нарицательного, ср.: мамин, папин, дядюшкин, маменькин, ведьмин; Васин, Ленин, Петин, Наташин; кошкин, кукушкин, ласточкин.
Да, здесь должно быть с прописной: Пушкинский Дом. Исправлено. Спасибо за замечание!
Корректно раздельное написание.
Запятая поставлена правильно.
Верная пунктуация: Тут и твой, и мой, и дедушкин — каждому ангел дан.
В подобных случаях название института следует писать в кавычках и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт серпа и молота», директор Учреждения РАН «Институт серпа и молота».
Тире между подлежащим и сказуемым, выраженными именительным падежом существительного, обычно не ставится, если перед сказуемым стоит отрицание не. Тире ставится, только если надо логически и интонационно подчеркнуть сказуемое.
