Запятая не требуется: Старт заседанию ученого совета дал ректор университета академик РАН Иван Петров.
Верно: ни жива и ни мертва.
Нет, это женское имя не склоняется.
Запятая поставлена правильно.
Тире между подлежащим и сказуемым, выраженными именительным падежом существительного, обычно не ставится, если перед сказуемым стоит отрицание не. Тире ставится, только если надо логически и интонационно подчеркнуть сказуемое.
Верная пунктуация: Тут и твой, и мой, и дедушкин — каждому ангел дан.
Да, здесь должно быть с прописной: Пушкинский Дом. Исправлено. Спасибо за замечание!
В подобных случаях название института следует писать в кавычках и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт серпа и молота», директор Учреждения РАН «Институт серпа и молота».
Корректно раздельное написание.
