В значении по «после» верно: по окончании, по истечении.
В словосочетаниях пол Московской области, пол чайной ложки слово пол является существительным, образованным с помощью усечения от слова половина. В предложении существительное пол используется в им. и вин. падеже, может являться подлежащим или дополнением.
В словах пол-лимона, пол-Москвы, пол-августа, полметра и т. п., вне зависимости от типа написания, компонент пол- является усеченной основой слова половина. Это сложные существительные.
Кавычки не требуются.
Правильно: под подпись или под расписку.
Использовать кавычки не нужно.
Первый вариант по структуре предложения более логичен.
См. в Словаре трудностей.
Правильно: под Николаевом (если речь о городе Николаев).
Правильно раздельное написание: полученное под отчет имущество.
