Термин внучатые организации не употребляется. Выражение может быть использовано как авторское (окказиональное) в соответствующем (возможно, ироническом) контексте.
В официальной речи предпочтительно употребление такого названия с родовым словом. В этом случае оно склоняться не будет: связаться с компанией «Тюмень Водоканал».
Корректно: Ответственными за организацию работы по курируемым направлениям.
Корректно: согласие дает организация либо (в случае ЧП) ведомство.
Оба варианта корректны.
Верно: В проверяемый период организация допустила ряд нарушений.
Лучше: в метрополитене. Вариант на метрополитене поддерживается сильной аналогией с сочетанием на железной дороге.
Лучше: в метрополитене. Вариант на метрополитене поддерживается сильной аналогией с сочетанием на железной дороге.