Орфографически верно слитное написание: антиантифриз. Приставка анти... пишется слитно (в том числе перед приставкой анти...). В академическом «Русском орфографическом словаре» зафиксированы, например, слова антиантивирусный, антиантиплагиат.
Верно: У нее никогда не было никакой семьи, как бы она ни просила, как бы она ни мечтала, как бы хорошо она себя ни вела.
Правильно: беститульный. Перед глухой согласной т пишется приставка бес-.
Верно: в День города.
Вам следует воспользоваться поиском по сайту и ввести туда ключевые слова из вашего вопроса.
Правильно: не преминули этим воспользоваться.
Правильно: не спится, не лежится. Не с глаголами пишется раздельно.
Написание зависит от того, какое слово используется: нЕкто (с ударением на первый слог) или никтО ( с ударением на последний слог).
