Деепричастный оборот во всех случаях обособляется: Стать властелином мира можно, захватив власть; ...но этот замок можно открыть, создав ключ; захватив власть, можно стать властелином мира.
Запятая нужна, а двоеточие не требуется.
В словарях:
Орфографический словарь
мира, -ы (астр.; фото)
Согласно «Общероссийскому классификатору стран мира» полное официальное название страны – Киргизская Республика, сокращенное название – Киргизия. В самой Киргизии употребляется название Кыргызстан.
Допустимы оба варианта.
Запятые в скобках нужны.
Правильно: чемпион мира, Кубок мира.
Корректно: кухни народов мира; франзуцская, итальянская, мексиканская кухня.
Правильно: чемпионат мира, чемпионат Европы, чемпионаты мира и Европы.
Запятая факультативна.